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Enfin, l’élimination de 9, entre ces deux dernières équa- 
tions, conduit à 
* 
(AB — 9C) = 4 (A° + 3B)(B° + 3AC). 
L’équation de la toroiïde est donc 
(Cr? 2 y? = ER k?) (ay Park — PE — 0 b=}: 
+ Aa Dk2 (2° + @— D? — 5) — 27 atb°ks 
+ ASE EU + y — a — 0° —K?) (02 y + D? 2 — QE — LEE — n° D?) 
Ha ge + D — QE EE — ab$ = 0. (41) 
Addition. — (Juin 1866). 
Si & — b, et que l’on fasse x? — y? + u?, l'équation (11) 
se réduit à 
(us — Qu? — k°) (ur — a — DY HA (ut — 20° — RY + 4a* (ut — 24° — à 
+ AB QE (UE — Qu — Qu — QU — °) — 27a8k* = 0. (19) 
Pour simplifier celle-ci, je pose —a—hk—#%: la 
transformée est 
CE — PE — PP + LEE — a) +40 (EP — ke) + 18a2r (8 — a?) (E —H) 
— 97a'k = 0, 
ou 
+9 (a+) + (a —k}t— 80h (a +k)—4ak (a +k) = 0. (13) 
Lorsque «a — b, l’ellipse devient un cercle ; par conséquent, 
la toroïde doit se réduire au système de deux cercles concen- 
triques avec le premier, et dont les rayons sont u = a & k: 
le premier membre de l’équation (13) est donc divisible par 
(8 + 2ak)( — 2ak). Si l’on fait la division, on trouve, pour 
quotient , (© + a? + k?Ÿ, c’est-à-dire u‘. Conséquemment, 
l'équation (12) est vérifiée par u° — 0 ; ce qui prouve que l'on 
a, identiquement , 
La? + k)(a? +247) +90 kŸP = 4° (Qu + kŸ + La (Qi + a°ÿ + 108a'k" ; 
