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XXII. — SUR LA PARTITION DES NOMBRES (1848) (*). 
Soit (n , g) le nombre de manières de former une somme 
n, avec q nombres entiers positifs, inégaux; et soit [n, q] 
le nombre de manières de former cette même somme par 
l'addition de q nombres entiers, positifs, égaux ou inégaux. 
On peut toujours supposer que les g nombres entiers qui con- 
courent à former la sommé n sont rangés par ordre de gran- 
deur non décroissante. Par exemple, s'il s’agit de former la 
somme 37 par l'addition de 8 entiers, on pourra considérer 
ces groupes : 
mais non ceux-Ci : 
DARCOS: 
Cela posé, on aura les théorèmes suivants (**) : 
THÉORÈME I. (n,q4)=(n—q,q —1)+{(n—q,q). (1): 
Démonstration. — Si l'on considère un groupe quelconque 
formé de q termes, et que l’on retranche une unité, de cha- 
eun d'eux, on obtient un nouveau groupe dans lequel la 
somme des termes est seulement n — q. D'ailleurs , ce nou- 
veau groupe est formé de q9 — 1 termes ou de q termes, sui- 
vant que le premier groupe commençait par À ou par un 
nombre supérieur à 4. La même remarque subsiste pour 
chacun des groupes proposés; donc, etc. 
THÉORÈME I. LAURE RE ES NES LE EN (2). 
EEE) 
(*) Les démonstrations suivantes , que je retrouve dans une lettre adressée au- 
trefois à M. Terquèm, m'avaient été demandées par ce regrettable savant. Elles 
n’ont jamais été imprimées. 
(**) Ils ont, je crois, été démontrés par Euler. 
