UGS = 
Démonstration. — Partageons nos groupes en deux séries; 
mettons dans la première ceux qui commencent par À, et 
dans la seconde ceux qui commencent par un nombre supé- 
rieur à 1. Supprimons le premier terme dans tous les groupes 
composant la première série, et rétranchons 1 de chacun des 
termes formant les autres groupés. Nous obtiendrons ainsi 
deux espèces de sommes : les unes égales à » —1, et com- 
posées de g — 1 termes; les autres égales à n — q, et com- 
posées de q termés. C’est là ce qu’exprime l'équation (2). 
— D 1 
Came 
©2 
7 
THÉORÈME Il. (%,4q) = [r— 
Démonstration. — Soit un groupe formé de q termes iné- 
gaux, dont la somme est n. Retranchons 0 du premier terme, 
1 du deuxième, 2 du troisième ; et ainsi de suite. Il est évi- 
dent que nous obtiendrons un nouveau groupe dont un terme 
quelconque sera égal ou inférieur à celui qui le suit (*). 
D'ailleurs , la somme des termes de ce nouveau groupe est 
n=(+9+3+...4+g 21), oùn 109 L'équa- 
tion (3) est ainsi démontrée. 
THÉORÈME IV. [n,qgl= À 
Démonstration. — Prenons un groupe de q termes, égaux 
ou inégaux, dont la somme soit n, et dont les q -- à premiers 
soient égaux à 1. Si nous retranchons { de chaque terme, 
nous formerons un nouveau groupe de g termes , de somme 
n — q, et dont les g — à premiers termes seront des zéros : 
(*) Réciproquement : si, à des termes rangés par ordre de grandeur non dé- 
croissante, on ajoute, respectivement, 0, 1, 2, unités, les nouveaux termes 
ainsi formés seront inégauæ et croissants. 
