Conséquemment, le dernier nombre est entier; ce qui 
n’était pas évident & priori. 
XXVIIL. — FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES (*). 
I. Une fraction continue périodique est celle dont les termes 
se reproduisent dans le même ordre, à partir d’un certain 
rang. Elle est dite périodique simple, lorsque le premier quo- 
tient incomplet fait partie de la période. Dans le cas contraire, 
elle est appelée fraction périodique mixte. 
Les fractions continues périodiques jouissent d'un grand 
nombre de propriétés remarquables , reposant toutes sur 
la proposition suivante. | 
Il. Soit une fraction périodique simple m, n, p, q, m, n, p, 
q,.…. : la valeur y de cette fraction sera donnée par l'équation 
Fo 
Rs 
En désignant par y, et y,,, les résultats que l’on obtient 
+1 
en prenant à périodes et 4 + 1 périodes, on a évidemment 
La différence entre deux réduites consécutives peut de- 
venir moindre que toute quantité donnée ; il en est de même 
(*) Les Notes XXVIII et XXIX sont extraites d'une TAéorie des Fractions con- 
tinues , publiée dans les Nouvelles Annales (1849). Si je reproduis un sujet aussi 
élémentaire, c'est uniquement à cause du calcul développé dans le paragraphe 7 
(Note XXIX) (septembre 1866), 
