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En représentant encore par y la fraction périodique simple 
(M,n,p, 4), nous aurons 
x =4,b, c,d, e, y; 
d’où lant D, E_Jes réduites qui correspondent 
où, en appelant -, les qui correspondent aux 
termes d,e, 
Ey + D 
— Ey+D (4). 
Cette relation donne 
De 
ETE 
puis , par la substitution dans (4), 
Q(D'z= D} (RQ) DD) (Ex PE) G. 
— P(Ex—E) =0 
Or cette équation est du second degré, à coefficients 
rationnels. 
4° Si la partie non périodique avait un seul terme «&, on 
1 k ; +, : 
AULAIL Z = 4 + e et l'équation (5) serait remplacée par 
P(x— a) —(P'— Q)(&— a) —Q =0 (6). 
5° Si la partie périodique et la partie non périodique n’ont 
chacune qu'un seul terme, l'équation (3) donne 
(@— aÿ +m(x—a)—1=0 (7). 
ner Le 1 D 
6° Enfin, si æ — D d'où y = 20 les équations (2) ou (5) 
donneront encore des équations du second degré en x. 
La proposition Cnoncée est donc démontrée dans tous les 
cas. Mais nous pouvons aller plus loin et discuter les équa- 
