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il , 
aurons æ — 4 +, et la seconde racine de l'équation (6) 
L et a — 2. Or, © = - et ® sont com- 
pris entre g et g+1; donc cette is racine est com- 
prise entre a— q et a—q—1. 
Si a est moindre que q, nos deux limites sont négatives ; 
donc la seconde racine sera négative et plus grande que l'unité. 
Si a est plus grand que q, les deux limites sont positives ; 
donc La seconde racine sera positive. 
6° Enfin, dans l'équation (7), la seconde racine est com- 
prise entre a—m et a— m—1 : done cette seconde racine 
est négative ou positive, selon que a est inférieur ou supé- 
rieur à M. 
sera comprise entre 4 — 
VI. THÉORÈME. Toute racine urationnelle d’une équation du second 
degré, à coefficients entiers, se développe en fraction continue pério- 
dique. 
Ce théorème , réciproque de celui dont nous venons d'exa- 
miner les différents cas, est dû à Lagrange. 
Soit 
al? — 2b,% — à, = 0 (8) 
l'équation proposée, dans laquelle #, , & , b, sont entiers. 
Supposons d'abord que les racines soient designes contraires, 
auquel cas 4, et a, sont positifs. La racine positive est 
donnée par la formule 
_ D +VbE + au 
a 
Pour développer cette quantité en fraction continue, repré- 
sentons par q, la partie entière du second membre, laquelle 
À 1 Pre 
peut être nulle, et posons æ = q, “++ = : x, sera positif et 
plus grand que 1. 
