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tous les signes, on y remplace x par q,. Or cette dernière 
quantité étant, par hypothèse, la partie entière de x, est 
comprise entre les deux racines de l'équation (8); donc, 
d’après les propriétés des trinômes du second degré, 
Gigi — Xoqi — & KO, 
ou, ce qui est la même chose, a, > 0. Donc, etc. 
L'équation (a) ayant ses racines de signes contraires, il 
est clair, d’après ce qui précède, que linconnue x, est la 
racine positive de cette équation, et que, si l’on désigne par 
q, la partie entière de æ, (au moins égale à 4), on a 
= +, 
T2 
æ, étant la racine positive de l'équation 
ax" — 2x, — a, = 0 (b), 
laquelle se déduit de la précédente comme celle-ci a été dé- 
duite de la proposée. 
Cette équation (b) a encore ses racines de signes con- 
traires ; et ainsi de suile. 
Actuellement, la série des égalités 
Do? + Ados = Da? + Quille = De” + ls =... VAT 
dans lesquelles &,, a, a,,..., b,?, b.°, b,°,..., sont desnombres 
entiers, prouve que ces nombres ne peuvent croître indéfi- 
niment ; donc, après un nombre limité d'opérations, on arri- 
vera à une certaine équation 
2 __ 0 LE — 
a. +1 X,, 20,4, de Û 7 
dont les coefficients seront ceux d’une équation déjà obtenue. 
Conséquemment aussi, la valeur de x est périodique. 
Considérons à présent le cas où l'équation du second degré 
a ses racines de mème signe. Nous pouvons les supposer 
