positives : car si elles étaient négatives, il nous suffirait de 
changer, dans la proposée, æ en — x. 
Cela étant, soib 
a XE — x + à, = 0 (9) 
celle équation, dans laquelle &, , as, b, sont entiers ef positifs. 
La plus grande racine est donnée par la formule 
Si les deux valeurs de æ n'ont pas la même partie entière, 
l'équation en +, aura une racine plus grande que 1, et une 
racine négative : car l'expression g, + = doit donner Îles 
He | 
deux valeurs de æ. Celle transformée en x, ayant ses racines 
de signes contraires, la racine positive se développera en 
fraction continue périodique; et 1l en sera de même pour la 
plus grande racine de l'équation (9 ). 
Si les deux racines de cette équation ont la même partie 
entière q,, la transformée en æ, aura ses deux racines plus 
grandes que l'unité positive ; et alors nous pourrons raisonner 
sur cette équation comme nous avons raisonné sur l'équa- 
tion (9), c’est-à-dire que, si les deux valeurs de æ, n'ont pas 
la même partie entière, la transformée en æ, aura ses racines 
de signes contraires , etc. 
Remarquons enfin que nous ne pourrons pas trouver indé- 
finiment des transformées dont les deux racines aient même 
partie entière : car, s'il en était ainsi, les deux valeurs de x 
seraient égales et, conséquemment, rationnelles. 
Le théorème de Lagrange est done démontré. 
VIT. Reprenons le calcul qui donne le développement de la 
plus grande racine. 
