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La relation (6) est donc identique. 
IV. Dans son savant Mémoire sur les intégrales définies 
eulériennes, Binet démontre une formule équivalente à : 
DM) PEU mm" (pu) 001) mr) ES (A) 
B(gq, m) LEA 10 ta DD da (m+q)(n+q+1) ï 
Par le changement de p — q en m, de m en p — q, et de 
penm + q, celle-ci devient 
EP EM SL D 
(Go 0) T p 1.2 p(p+1) 
d'où, à cause de la formule (A) : 
B (M + q,p —4) e B(p, m) 
B(q,p — q) B (q, 12)” 
ce qui est précisément l'équation (3). Ainsi, le Théorème 
d'Euler donne l’une des formules (A), (A') au moyen de 
l’autre; et, réciproquement, ce théorème est une conséquence 
des deux formules. - 
V. La formule (A) permet de développer, en séries conver- 
gentes , l'intégrale eulérienne de première espèce et son 
inverse. En effet, si l’on suppose q entier, 
\ 
1.2.3...(q—1) 
B 1 RS FREE TRES 
(g, M) m(m+1)...(m+qg—1) ? 
donc, par le changement de ®» en q et de g en m : 
1.2.3... (m—1) [, qp—m q(q—1Kp-m)p—-m+) à 
B = ——————— 12 — —————— ———— ———— B F 
Pen Gem 1 p 18  pytD | 
