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XLIX, — RAYON DE LA SPHÈRE CIRCONSCRITE A UN POLYÈDRE 
SEMI-RÉGULIER. (MARS 1862) (*). 
Le centre O de la sphère, les centres CG, C! de deux faces 
adjacentes, et le milieu P de l’arète c commune à ces deux 
faces, sont les sommets d’un quadrilatère OCPC!, dans 
lequel les angles C, C' sont droits : ce quadrilatère est donc 
inscrit à la circonférence décrite sur OP comme diamètre. 
Représentons par p,gq les diagonales OP, CC'; par « 
l'angle GPC'; par «a, a'les apothèmes CP, C'P des faces 
dont C, C/ sont les centres. Soient, en outre, n, n! les 
nombres de côtés de ces faces, et n!' le nombre des côtés de 
la face qui, avec les deux premières, constitue un angle 
trièdre du polyèdre (**). 
La diagonale OP — p est perpendiculaire au milieu de €; 
donc, R étant le rayon de la sphère circonscrite, 
ST Aube (1. 
La corde GC! sous-tendant un arc capable de l'angle +, dans 
une circonférence dont le diamètre est p, 
4 = p Sin æ (9). 
De plus, 
p = + a — Jaa! cos « (3). 
La formule fondamentale de trigonométrie sphérique donne 
ensuite, comme on le voit aisément, 
(*) Question résolue à l’occasion de mon Mémoire sur ta Théorie des Polyèdres 
(Journat de vEcote Polytechnique, 41° cahier }. 
(**) Voir le Mémoire cité. Voir aussi la brochure intitulée : Histoire d'un 
Concours. 
