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LI. — SUR LES NORMALES A UNE SURFACE (JANVIER 1863). 
I. Dans le Journal de l'Ecole Polytechnique (38° Cahier), 
M. Abel Transon démontre ce remarquable théorème, dû à 
Sturm (*) : 
« Soit AN la normale d'une surface au point A; toutes les nor- 
» males, relatives aux points voisins (**) de À, rencontrent les deux 
» droites élevées perpendiculairement à AN dans les plans des deux 
» sections principales et par les centres de courbure de ces deux 
» sections respectivement. » 
Si l’on remplace la surface S par l’ellipsoide osculateur 
en À, et si l’on considère la section s de cet ellipsoïde par 
un plan parallèle au plan tangent en À, et infiniment voisin 
de celui-ci (***), les normales en tous les points de s ren- 
contrent les droites dont il vient d'être question. On peut 
se demander si, la section s étant située à une distance finie 
de A, la même propriété subsisterait. Et comme on peut 
substituer, à l’ellipsoïde, le cône droit circonserit sui- 
vant s (***), la question revient à celle-ci : 
Les normales à un cône droit, à base elliptique, menées en tous 
les points de cette base, rencontrent-elles deux droites fixes ? 
Il. Prenons, pour plan ho- 
rizontal de projection, le plan 
même de la base du cône; et, 
F 3 pour plan vertical, celui de 
la section principale as'b. Les 
traces du plan tangent en un 
point ne (m, m1) de la base sont la tangente mt et la 
(*) Comptes-Rendus, tome XX, p. 1241. 
(**) Lisez : infiniment voisins. 
(***) La courbe s est l'indicatrice de S, pour le point A. 
(****) La courbe s est dans un plan parallèle au plan d'une section principale 
de l’ellipsoïde, 
