— 265 — 
Elle équivaut à 
F(u) & EF (v) = const. (20), 
F («) représentant, en général, l'intégrale abélienne 
a (lo: 
à VU — a) — a) — a )(a he) 
(1) 
IX. La combinaison des équations (10)' et (18) donne 
(u? — v°})? Uu°du° 
u? FER h° , 
AS 
ou 
(u£ — v?) Uudu 
ds —= Vu Re Da h° 
Le second membre est la même chose que 
Uu‘du Uuvdu 
Vu —h? Vu h? ° 
donc, en vertu de l'équation (18), 
Uusdu Vos dv 
ds = — —— |, 
Vu re ce Vu —h° 
« Ici, » dit M. Liouville, «les variables sont séparées comme 
(*) Voir, sur ce point, une Note de M. Liouville (Journat de Mathématiques , 
tome IX). La plupart des résultats auxquels nous venons de parvenir ont été dé- 
montrés déjà par ce savant Géomètre ; mais il les a trouvés en considérant la ligne 
géodésique comme la érajectoire d'un point qui ne serait sollicité par aucune 
force accélératrice : nos méthodes sont donc essentiellement différentes. 
