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XI. Pour chaque valeur attribuée à la constante g, l’équa- 
tion (15) représente une série de lignes géodésiques. Cher- 
chons les trajectoires orthogonales de ces courbes (*). 
En représentant, pour un instant, par dæ, 07, dx les diffé- 
rentielles relatives à la trajectoire, on a 
dx0x + dydy + ds 0x = 0, du + dy + di = 0; 
d’où 
MT unit 4 nn OA, à 
2 de — + 0y + dx — + dx FE 3y— He 
Substituant dans (15), et rétablissant dæ, dy, dx au lieu 
de 04, dy, 02, on trouve 
équation différentielle des trajectoires cherchées. 
La somme placée en numérateur est égale à 
y° 
Es Hjdete 5 UE - dy dz 
2 2 
_ +) = 
d 
a? b2 c? DA 
(*) Il est bon d'observer que, d’après une remarque de M. Michael Roberts, 
toutes ces lignes géodésiques sont tangentes à une même ligne de courbure. 
(Journal de Liouville, tome X). Conséquemment, les trajectoires orthogonales 
cherchées sont, pour ainsi dire, des développantes de la ligne de courbure. 
