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VII. La surface de révolulion 8, est donc telle, que ses 
lignes de courbure se projettent, sur le plan xy, suivant des 
circonférences et des rayons, projections des lignes asympto- 
tiques de l'héliçcoïde S. Cette propriété subsisterait pour toute 
autre surface de révolution autour de O3. Mais il y a plus : 
les lignes asymptotiques de $, , et les lignes de courbure de S, 
ont mêmes projections sur le plan des xÿ; en sorte que les 
surfaces S, S, sont conjuguées. 
Pour vérifier directement ce dernier point, j observe qu'en 
vertu de l'équation (20) : 
PU A RON due 
u Va + uVE+S 
puis 
ASE jee Per 9) 
(+ g°) 
. 5 (Qu +q 0 
uu°+g°)? 
2/n12 2\__»12{ 92 2 
er QU +g")—Yy ne 12 
AU + À 
l'équation des lignes asymptoliques de $, est donc 
Qu — Qu'x"+qy") de —2(Qu° +5) ay dady+(u' — Qu°y+ g'x")dy"= 0. (22) 
On peut l'écrire ainsi : 
at (da— dy?) — Qu (xdx + ydy} + g(yda — xdy} = 0. 
Mais, si l'on prend des coordonnées polaires, on a 
di? + dy? = dé +de, xdz + ydy = udu, ydx — xdy = — vis; 
