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_ XI. La surface 2 jouit des propriétés suivantes : 1° Les 
lignes de plus grande pente, toutes égales entre elles , sont si- 
tuées dans des plans verticaux ; ® ce sont des lignes de 
courbure; 8° les courbes de niveau sont des lignes de cour- 
bure (*); 4° si l’on considère la courbe C suivant laquelle la 
surface touche le cylindre vertical, enveloppe des plans qui 
contiennent les lignes de plus grande pente, cette courbe € 
est une développée de la surface 3. C'est-à-dire que si le cy- 
lindre se déroule, C engendre ©, etc. 
XII. La surface > dont nous venons de nous occuper 
n’est pas, en général, à courbure moyenne nulle : pour qu'elle 
le soit, la directrice D et la génératrice doivent satisfaire à 
certaines conditions. 
Afin de les découvrir, remarquons d'abord que, le plan de 
la ligne de courbure G contenant la normale à la surface, 
cette ligne G est une section principale. Be plus, en tous les 
points d’une même ligne de niveau, le rayon R, de cette 
première section principale a une valeur constante. À cause 
de 
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le rayon R, de la seconde section principale doit aussi être 
constant. D’après le Théorème de Meusnier, Joint à la 
définition de la surface, R, est égal au rayon p de la ligne 
de niveau , divisé par le cosinus d’un angle constant. Donc 
p — const. : les lignes de niveau sont des circonférences. De 
plus, elles doivent être équidistantes ([X); et cette pro- 
priété caractérise une surface de révolution. En résumé, la 
surface $S est un caténoïde. 
(*) En effet, ces courbes sont des trajectoires orthogonales des lignes de plus 
grande pente. 
