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» D'après ces principes, pour que la série (1) soit conver- 
» gente, il est nécessaire, et il suffit que les valeurs des 
» sommes 
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» correspondantes à de très-grandes valeurs de n, diffèrent 
» très-peu Îles unes des autres, en d’autres termes, il est 
» nécessaire, el il suffit que la différence ; 
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» devienne infiniment petite, quand on attribue au nombre n une 
» valeur infiniment grande, quel que soit d’ailleurs le nombre entier 
» représenté par M... » 
J'ai déjà fait remarquer (Traité élémentaire des séries, p. 4.) 
que la phrase imprimée en italiques énonce (si je l'ai bien 
comprise) une proposition fausse; car le sens le plus naturel 
qu'on lui puisse attribuer est celui-ci : 
Une série est convergente si la somme d’un nombre quelconque 
(mais déterminé) de termes consécutifs tend vers zéro, lorsque le. 
rang du premier d’entre eux croît indéfiniment; et il est évident 
que la série harmonique satisfait à cette condition. 
On peut, il est vrai, supposer que par l’expression quel que 
soit le nombre entier m, Cauchy a voulu entendre que ” 
peut être infini, ou plutôt indéfiniment grand. Mais alors 
le théorème énoncé (et non démontré) se réduirait à cette 
proposition aussi insignifiante qu'incontestable : une série est 
convérgente....…. quand elle est convergente ! 
En effet, pour que la quantités, ; | — S, tende vers zéro quand 
on y fait croître indéfiniment et successivement, d'abord m, 
ensuite n, il faut et il suffit que cette quantité tende vers une 
limite finie et déterminée quand on y fait d'abord croître 
indéfiniment m ; c'est-à-dire, à faut et il suffit que la série soût 
convergente ; ce qui n’apprend rien. 
