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V. Dans un Cours de Calcul différentiel et intégral (sic), que 
fait paraître M. Serret, on lit : 
« Réciproquement, la série 
Us, U, 
» est convergente lorsque la somme 
u +u SL OMNC NE EE 
ñn n+ | n+p-l 
» tend vers zéro, quel que soit p, quand n augmente indéfiniment. 
« En effet, désignons par : une quantité positive aussi 
» petite que l'on voudra, et par S la somme des n premiers 
» termes de la série. Comme la différence 
+ 
S Hop S,=U,+U,.; Nat AL 
» tend vers zéro, quel que soit p, par hypothèse, quand # 
» tend vers l'infini, on peut donner à » une valeur déterminée 
» assez grande pour que la différence dont il s’agit soit com- 
» prise, quel que soit p, entre — = et + ©. On aura donc 
Sie EB.4, br + €. 
» Cela posé, le nombre n restant invariable, faisons tendre p 
» vers l'infini... » 
On voit que le théorème de M. Serret est la proposition de 
Cauchy, accompagnée d’une démonstration très-peu claire : 
l’auteur en convient. On voit aussi, par les derniers mots 
cités, que, suivant M. Serret, le nombre p doit être supposé 
indéfiniment grand. Nous avons déjà démontré ($ IT) que la 
proposition de Cauchy, entendue ainsi, équivaut à ce théo- 
rème inattaquable : Une série est convergente quand elle est 
convergente; mais, afin d'élucider entièrement une théorie 
sur laquelle tant de Géomètres se sont trompés, croyons- 
nous, nous allons, à propos du théorème de M. Serret, 
reprendre et compléter notre démonstration. 
