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Soit 
SL 5, = F(n, p). 
Si, laissant n constant, on fait croître p indéfiniment, il 
peut arriver deux choses : ou F(#, p) tend vers une limite 
finie et déterminée À — F (n,2)— 9 (n), ou le contraire 
a lieu. D’après l'énoncé de M. Serret, la seconde hypo- 
thèse doit être rejetée : car dire qu'une quantité infinie 
tend vers zéro quand on fait croître une variable n quiny 
entre pas, ou qu'une fonction de n, périodique, à pour limite 
zéro, c'est proférer deux non-sens. Reste donc le cas où 
F(n,o)—#pt(n) = À. Mais alors la somme des n + p 
premiers termes de la série tend vers S + 9 (n) lorsque, 
n restant invariable, n + p croit indéfiniment; ainsi, la série 
est convergente, et elle a pour somme la quantité constante 
S, + q(n) = S (*). 
Ajouter , comme le fait M. Serret, la condition 
lim. o(n) = 0, 
c'est demander que, dans une série convergente, la difjérence 
entre la somme des n premiers termes et la limite de ceite 
somme tende vers zéro ; c’est-à-dire, c'est demander que ce 
qui est, ait lieu. Le théorème de M. Serret se réduit donc, 
comme nous l'avons annoncé, à cette naïveté : Une série est 
convergente , quand elle est convergente. 
EEE D GO GE Qi 
(*} Je disque S, +  (n) = constante. En effet, 
St La S, LE Lun: % 
et 
= 9 (x) — Ua 
