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» le plus simple, celui où le mouvement a lieu dans le vide et 
» où les points extrêmes sont donnés. » 
12. Rocer publia dans le tome XIII du Journal de Mathé- 
matiques de Liouville (1848) une thèse sur les brachistochrones 
où il étudie plusieurs cas particuliers intéressants. Cette thèse se 
compose de deux parties. La première traite des brachistochrones 
dans le cas où le mobile n’est soumis qu'à la pesanteur. Il con- 
sidère d'abord le mobile entièrement libre; il le suppose ensuite 
assujetti à se trouver sur un plan vertical ou sur une surface 
de révolution et examine particulièrement le cas où cette sur- 
. face est un cylindre droit à axe vertical. 
Dans la seconde partie, il étudie les brachistochrones en 
général, en supposant le mobile soumis à un système donné de 
forces variables avec la position du mobile, C’est surtout cette 
partie qu'il a développée. 
Le Père Juiien, dans ses Problèmes de mécanique ration- 
nelle, publiés en 1855, considère la brachistochrone sur une 
surface quelconque et en particulier sur une surface de révolu- 
tion. Sa méthode diffère peu de celle de Roger. 
13. A peu près vers cette époque, M. HATON DE LA GOUPILLIÈRE 
communiqua à l'Académie des sciences de Paris un mémoire 
inséré dans le tome XX VII des Mémoires des savants étrangers. 
Il y étudie d'abord la brachistochrone dans l'hypothèse d'un 
frottement de glissement ; il suppose ensuite que le milieu dans 
lequel doit se mouvoir le mobile, oppose une certaine résistance ; 
enfin, dans la troisième partie, il réunit les deux hypothèses. 
Mentionnons aussi un autre travail de M. Haton de la Gou- 
pillière qui a paru dans le tome XXVIII du même recueil. 
L'auteur traite le problème inverse des brachistochrones; voici 
comment il l’énonce : 
Délerminer le système de forces sous l'influence duquel une 
courbe donnée:serait la ligne de trajet le plus rapide. 
H convient peut-être de signaler aussi les solutions qu'ont 
publiées A. Meyer dans ses Nouveaux éléments du calcul des 
