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16. Dans une note des Comptes rendus de l’Académie des 
sciences de Paris de 1885, M. Andoyer réduit le problème de 
la plus vite descente aux équations canoniques, soit dans le cas 
d'un mobile libre, soit dans le cas où le mobile doit se mouvoir 
sur une surface. 
Ossian Boxer, dans ses leçons à la Sorbonne (*) sur la théorie 
de la réfraction astronomique, recherche les équations différen- 
tielles de la trajectoire lumineuse, que l'on sait être la mème 
que celle du trajet le plus court d'un point pesant. Il énonce le 
problème comme il suit : 
Rechercher le mouvement de la lumière émanée d'une étoile à 
travers l’atmosphère, dans le cas où la densité de celle-ci ne 
dépend que de la distance au centre de la Terre. 
Il ne détermine pas complètement l'équation de la courbe. 
Après avoir démontré que la trajectoire se trouve dans un 
plan vertical, il établit le changement de direction subi par le 
rayon lumineux, depuis le moment où il pénètre dans l’atmo- 
sphère jusqu'à celui où il parvient à la surface de la Terre. « Nous 
»° terminerons là, ajoute-t-il, ce qui se rapporte à la recherche de 
» cette trajectoire lumineuse, la détermination complète de 
» cette trajectoire n'étant pas indispensable au but que nous 
» voulons atteindre. » 
Nous trouvons ensuite dans le tome III du Cours d'analyse 
de Camize Jorpan (1'° édition, 1887) une étude très simple de la 
brachistochrone. L'auteur suppose le mobile animé d'une vitesse 
initiale donnée, le point de départ étant fixe et le point d’arrivée 
fixe ou assujetti à se trouver sur une courbe ou une surface 
quelconque. 
M. FLamanr, dans sa Mécanique rationnelle, traite le cas de la 
brachistochrone entre deux points. Il ramène d’abord le pro- 
blème de l’espace à celui du plan vertical par la comparaison 
d’une courbe de l’espace et de sa projection sur le plan. Au 
moyen du théorème de Fermat (**), il arrive à l’équation différen- 
() Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, 5° série, t. VI, 1887. 
(**) Voir l'énoncé de ce théorème, seconde partie, chapitre 1, $ 5. 
