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Multiplions terme à terme les premières des proportions (2) 
et (3), ensuite les secondes ; en observant que 
CG—CL—=MG, LD —GD=ELN, EF = CE, 
on obtient d’abord 
CE EG t.CE 
CHERE CL 
CE GI t.EF , 
LG GD€.LD —t.6D 
puis en égalant les seconds membres de ces équations et ayant 
égard à la relation (4), il vient 
EG t.CE GC 
GI EF GD 
(4) 
Mais, d'après les lois de la pesanteur, 
EG X t.CE EG GI 
GIX4EF VHC VHE 
l'équation (4) se réduit donc à 
EG GIE CG 
VHe CRE. GD 
EG et GI sont deux différentielles consécutives de l’abscisse, 
HC et HE sont les ordonnées correspondantes, enfin CG et GD 
sont les deux différentielles de l'arc de la courbe. La question 
est donc ramenée à déterminer la courbe dont les éléments 
consécutifs sont entre eux en raison composée de celle des 
éléments des abscisses et de la racine carrée de celle des ordon- 
nées. Or Huyghens a trouvé que cette courbe est une cycloïde. 
Cette démonstration, plus directe que celle de Jean Bernoulli, 
s'appuie sur ce que, à des infiniment petits d'ordre supérieur 
près, on peut considérer comme identiques la position de la 
courbe répondant à un maximum ou à un minimum, et celle de 
la courbe infiniment voisine. 
Le lemme qui précède cette solution a été admis tacitement 
