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Menons la corde AD qui détermine deux ares semblables 
AFD, AGB. MSN étant le cercle générateur de AGB, appe- 
lons a son diamètre et posons : AL = x, BL = y et AC —b, 
quantité donnée, puisque CD est la verticale donnée. 
» Cela posé, on sait, par le théorème démontré par Huyghens, 
que le temps employé à parcourir un arc quelconque AGB de 
cycloïde est proportionnel à l'arc correspondant MIS du cercle 
générateur, divisé par la racine carrée du diamètre. 
» Orici, 
arc MIS = AL + ST = x + V'ay — y. 
» On aura donc pour expression de ce temps 
x +V'ay—7y* 
Ho 
comme il est au temps nécessaire pour parcourir l'are sem- 
blable AFD, dans le rapport 
VBL VAL 
VCD VAC 
on à 
Vb x + Vay — y 
L.AFD = ——. ————-. 
V’a Vx 
» Pour que cette quantité soit un minimum, sa différentielle 
doit être nulle, ce qui donne 
dx x V'ay — ÿ° + dy(ax — 2yx) — dx (ay — y°) = 0. 
» De la nature de la cycloïde, on tire 
dyVy 
FRERES 
re | 
» L'équation précédente devient par cette substitution : 
Vy V'y (ay — y° 
LEE DRE ay —y* + dy(ax — 2yx) — dy ay = 9) 
Va — y V'a— y 
= (0. 
