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» On en conclut 
ax —yx = YyV ay 24 CELA 
» en élevant au carré et ordonnant suivant les puissances 
» décroissantes de y, il vient 
y — ay + dy — 2ax°y + ua = 0. 
» Cette équation est divisible par y — a; on a done y = a, 
» ce qui fait voir que l’ordonnée BL doit être le diamètre du 
» cercle générateur et AGB une demi-cycloïde. 
» Puisque AFD est semblable à AGB, AFD est aussi une 
» demi-cycloïde et le problème est résolu par la cycloïde qui 
» coupe la droite donnée CD à angle droit. 
» La solution y = a s'aperçoit immédiatement sur l'équa- 
» tion (1). » 
Le cas considéré par Saurin est beaucoup moins général que 
le problème de Jean Bernoulli, en ce qu'il ne considère pas les 
arcs de courbes quelconques, mais seulement ceux de cycloïde 
compris entre le point et la droite donnés. 
C'est un cas particulier d'un problème également proposé par 
Jacques Bernoulli, à savoir : « Chercher, parmi toutes les courbes 
» semblables, construites sur un mème axe horizontal et ayant 
» même sommet, celle dont l'arc compris entre ce sommet et 
» une ligne donnée serait parcouru par un point pesant dans le 
» temps le plus court. » 
e) Hermann. 
Hermann a étudié la brachistochrone dans différents cas; 
nous analyserons ici seulement le cas où les points extrêmes 
sont donnés et où la seule force agissante est la pesanteur. 
Hermann établit d'abord un lemme qui n’est autre que celui 
de Fermat, appliqué au cas où les milieux sont séparés par une 
circonférence de cercle. Voici comment il l’énonce : 
« Soient donnés de position un cercle DBE de centre O 
