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f) Euler. 
Dans la proposition 40 (*) du tome Il de la Mécanique, 
Euler énonce le problème des brachistochrones en ces termes : 
« Trouver la loi générale suivant laquelle doit être construite 
» une courbe telle qu'un corps qui descend suivant cette ligne 
» parvienne le plus 101 possible à un point quelconque de la 
» coure. » 
Voici sa solution; elle ne fait aucune hypothèse particulière 
sur les forces motrices. 
« Soit AMC (fig. 12) une telle courbe, sur laquelle le corps 
» parvienne de A en G en un temps plus court que sur toute 
» autre ligne passant par À et C. 
À » Prenons sur cette ligne deux 
» points quelconques M et p; le 
» corps, en parcourant l'arc Mu 
». pendant son mouvement sur AMC, 
» emploie un temps moindre que 
» pour parcourir tout autre arc 
» passant par M et u. Supposons 
» maintenant les points M et p infi- 
» niment voisins et considérons Îles 
» éléments Mn et mu de la courbe; 
» Je temps employé pour parcourir 
» l'are Mn. doit être un minimum, 
» c’est-à-dire, d'après les rêgles des 
» Maxima et minima, ce temps est égal au temps qui corres- 
» pond à l'arc infiniment rapproché Manu. Si nous menons sur 
» l'axe AP les ordonnées MP, mp, pr, et si mp est équidistante 
» de MP, px et rencontre la seconde courbe en n, #»n sera 
» infiniment petit par rapport aux éléments Mn, mu. Nous 
» avons donc l'équation 
t.Mmæ+i.mu—=t.Mn + tnu . . . . (1) 
(*) Ces mêmes développements se trouvent déjà dans les Commentari 
Academiae Petropolitanae de 1754. 
