(39) 
» Si l'on substitue ces valeurs dans (4) et qu'on néglige les 
infiniment petits d'ordre supérieur, on trouve 
2v(mh—ng) = mh.du—Mm d'w. 
» Les triangles nmg et mMG, mnh et mu étant semblables, 
on a les proportions 
ng  mG  mh ul 
; , 
mn mM mn Mu 
mG.mn a .mn 
nÿ=——— mh=- - 
Mn mu 
» Par conséquent 
» 
= — {, 
Min DID 
on 
. = die | 
mG | nG Mn 
mue Mn 
Main 
» Cette équation est homogène et détermine la nature de la 
brachistochrone. 
» Si l'on pose 
MG—=mH= dx, mG— dy, Mm—V/dx + dy = ds, 
on aura 
Hu = dy + d'y, mu ds + d's. 
» La substitution de ces valeurs donne 
avu dy Æ dydu EE dsdw 
ds ds mn 
- (7) 
» Si l'on détermine les quantités v, du, d’w, au moyen des 
forces agissant sur le mobile, l'équation (7) devient l'équation 
différentielle de la brachistochrone. d?w contiendra mn sous 
une forme telle que #n disparaîtra des calculs. » 
Euler fait remarquer que sa solution s'applique à des forces 
motrices quelconques et aussi à des résistances; que les solutions 
antérieures du problème de la brachistochrone supposent une 
