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force de direction constante ou dirigée vers un centre fixe, ce 
qui entraine d'w — 0. 
Dans la proposition 41 de la Mécanique, l'auteur achève la 
solution en soumettant le mobile à une force verticale P, On a 
alors 
v= / Pdx, 
l'intégrale étant supposée nulle pour x—0 si l’on fait partir 
le corps de A sans vitesse initiale. Fl vient ainsi 
du = Pdx — dv, «w—0, 
car dx ne change pas quand on passe de »# en n. L'équation (7) 
se réduit à 
En intégrant, on trouve 
dy 
2 log T = logv—loga, ou ady* — vds"; 
s 
par conséquent 
da* f'Pdx = ay? — dÿ f Pdx, 
et la brachistochrone a pour équation 
diV f Pdx 
Va = ÿ Pdx 
Si la force motrice est constante, on a P — g; en écrivant gb 
au lieu de a, l'équation précédente devient 
dy 
dxV/x dx V/b 
Y=———©, où ds =——. 
V6 —x Vb— x 
et on retrouve le résultat de Jean Bernoulli. 
Euler traite encore d’autres cas particuliers et indique aussi la 
question inverse, savoir la détermination de la force pour laquelle 
une courbe donnée devient brachistochrone. 
