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» Il est facile de reconnaitre, a priori, que la courbe cher- 
chée ne saurait avoir aucun de ses points à gauche de la 
verticale DH" ou au-dessous de l'horizontale HH', et que, 
par suite, la brachistochrone sera comprise dans le rectangle 
DoHH'. Or, toutes les courbes qui joignent D au point (indé- 
terminé) H et qui sont comprises dans le rectangle DVHH", 
ont la même projection horizontale HH', et la vitesse acquise 
en H, par la chute sur l’une d'elles, a la même valeur v, pour 
toutes. 
» Or si le temps employé par un mobile à parcourir la 
courbe DMM'H avec une vitesse variable est minimum, ce 
mème temps diminué du temps nécessaire pour parcourir 
H'H avec la vitesse constante 4, sera encore minimum; et si 
nous décomposons la courbe et la droite en un même nombre 
d'éléments correspondants MM' et mM', la différence des 
temps que l'on vient d'énoncer sera minimum, si l'on rend 
minimum cette différence élémentaire (*) 
t.(MM',v) — t.(mM',v,). 
» Or, d'après le lemme, il suflit, en regardant MM’ comme 
rectiligne, que l'on ait 
v 
sinmMM'——, où ———, . . . . (1) 
v, ds +, 
v désignant la vitesse acquise par le mobile à son arrivée en M, 
et les ordonnées étant parallèles à Do. 
» L'équation (1) est l'équation différentielle de la brachisto- 
chrone pour le cas où la pesanteur agit sur le mobile par des 
droites parallèles, l'intensité de la pesanteur étant ou con- 
stante, ou variable suivant une loi quelconque. On en déduit, 
en faisant successivement v = v et v =, que la courbe est 
tangente à la verticale DH' et normale à la verticale vv'. Dans 
(‘) Nous désignons par #.(s,v) le temps employé à parcourir la lon- 
gueur s avec la vitesse v. 
