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La condition du minimum se traduit géométriquement de la 
façon suivante : 
Si l’on applique en un point quelconque #' pris sur la courbe 
à l'intersection du plan de niveau S’ deux forces, l'une égale à 
= et dirigée suivant l'are élémentaire m'm, l'autre égale à T— 
et dirigée suivant l'arc élémentaire m'm", la résultante doit être 
normale à ce plan S’. Par conséquent : 1° la courbe est plane, 
car deux éléments consécutifs sont compris dans le même plan 
: APS . 4 
vertical; 2° la projection horizontale de la force —= est constante, 
puisqu'elle est détruite par la projection de force = qui 
agit en sens contraire. 
Appelons a l'angle de l'élément m'm avec la verticale. La solu- 
tion du problème sera donnée par la relation 
sin œ 
z 
— constante. 
Cette équation caractérise une eycloïde commençant au point A 
et qu'on obtiendra en faisant rouler un cercle au-dessous de la 
droite horizontale AX, menée dans le plan vertical passant par 
les deux point donnés. 
Menons, en effet, au point m' la normale #m'I à la courbe, et 
au point I, où elle coupe l'horizontale AX, élevons la perpendi- 
culaire IK sur cette dernière droite, jusqu'à la rencontre en K 
avec la tangente m'K; l'angle &« = angle IKm' = angle Fm’, 
IF = z. Nous aurons 
IF = Jr sin, Im'—IKsina; 
donc 
IF — IK sin°x, 
et par suite 
sin & 1 
PATATE 
La quantité IK est donc constante tout le long de la courbe ; 
il est facile de reconnaitre que cette propriété appartient à la 
cycloïde et à la cycloïde seule. 
