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Si l'on désigne par @ l'angle CPM et par a le rayon du cercle 
générateur de la cycloïde, on a 
PM == PQ — 2a sin ©. 
Supposons que l'on définisse la courbe ANB par la longueur 
p — PN, cette longueur essentiellement positive pourra être 
plus grande ou plus petite que PM. Menons la normale à la 
cycloïde au point M’, infiniment voisin de M et soit N' le point 
où elle coupe la courbe ANB. La vitesse que le point matériel 
pesant aura en N dans son mouvement sur ANB, aura évidem- 
ment pour expression 
2g. NL = V’ 2go sin », 
NL étant la perpendiculaire abaissée sur CD ; par conséquent, le 
temps que le point mobile mettra pour aller de A en B par ANB 
aura pour expression 
.B NN’ 
Il nous reste à évaluer NN’. Abaissons de N la perpendiculaire 
Nn sur la normale M'N'; dans le triangle rectangle NN'n on aura, 
en négligeant les infiniment petits du second ordre, 
i étant l'angle de MN avec la tangente en N à ANB. 
D'autre part, comme les normales en M et M’ font un angle 
égal à do et se coupent en un point très voisin de Q, on a, au 
degré d’approximation déjà indiqué, 
Nn — (p + PQ) do = (p + 2a sin &) da, 
et l'on obtient pour expression définitive du temps : 
Fh+ 2asinw do 
