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Il s’agit d'établir que cette intégrale est plus grande que celle 
qui correspond à la cycloïide AMB. Si nous supprimons sin à 
dans chaque élément, cette suppression ne peut que diminuer 
l'intégrale qui devient alors 
(b + 2a sin w)do PR DAS IN ds 
fessée _ [haine 
; V2gp sin « ; Ve /2gVsine 
Chaque élément de l'intégrale, considéré comme fonction de p, 
est la somme de deux quantités dont le produit est constant. 
Chacun des éléments et, par suite, l'intégrale totale sera mini- 
mum lorsque p = 2a sin w; or les deux hypothèses 
sin?—=41 p—2asino 
correspondent au mouvement sur la cycloïde AHB. La propo- 
sition que nous avions en vue est done démontrée. 
Cette démonstration suppose, comme il a été dit dans l'énoncé, 
que toutes les courbes considérées sont situées dans le plan 
vertical passant par les deux points donnés. 
Pour généraliser le problème et l’étendre à toutes les courbes 
de l'espace, l’auteur rappelle cette remarque due à Ossian 
Bonnet : Projetant la courbe considérée dans l’espace sur le plan 
de la cycloïde, on reconnait immédiatement que le temps mis 
par le mobile à parcourir la projeetion est moindre que celui 
employé pour parcourir la courbe de l’espace. 
En effet, les éléments correspondants de deux courbes sont 
parcourus avec la même vitesse, mais l'élément de la projection 
est toujours inférieur ou tout au plus égal à celui de l'espace. 
La brachistochrone, parmi toutes les courbes de l’espace, est donc 
bien la eycloïde AMB. 
