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CHAPITRE II. 
MÉTHODES QUI DÉPENDENT DU CALCUL DES VARIATIONS. 
L'introduction du calcul des variations marque un grand 
progrès dans les méthodes de recherche des maxima et 
minima d’une intégrale définie. Les règles de ce calcul 
permettent, en effet, d'étudier de telles questions d’une façon 
beaucoup plus générale. Pour notre problème, par exemple, 
aucune condition relative aux points extrêmes de la courbe 
n'arrête les recherches. Alors que les anciens procédés, pleins 
d'artifices particuliers à chaque qüestion et parfois si pénibles, 
ne permettaient de laisser varier que le point d'arrivée du 
mobile, le nouveau calcul permet de faire sur les deux limites 
les hypothèses les plus diverses : on les assujettit à se trouver 
soit sur des courbes, soit sur des surfaces données, et toujours 
on arrive à la solution, d'une manière élégante et rapide. De 
plus, on obtient plus aisément la brachistochrone dans le cas 
où l'on suppose soit une résistance du milieu dans lequel 
s'effectue le mouvement, soit des forces quelconques agissant 
sur le mobile. 
Aussi, pendant plus d'un siècle, on n’employa plus que les 
variations, et même après Collignon on ne traita plus par des 
méthodes se rapprochant de celles des Bernoulli que la bra- 
chistochrone entre deux points donnés, la pesanteur seule 
agissant sur le mobile. 
a) Lagrange. 
L’inventeur du calcul des variations ne manqua pas de traiter 
par sa méthode le problème qui occupa si fort les géomètres de 
la fin du XVIT° siècle, c'est-à-dire celui des brachistochrones. 
L'étude qu'il fit de cette question est une application des for- 
