(54) 
mules générales relatives au maximum ou au minimum d'une 
intégrale définie. 
« Si, dit-il, Z désigne une fonction déterminée des variables 
x, y, z et de leurs différentielles premières, secondes, …, il 
faut trouver la relation qui doit exister entre les variables x, 
y, , pour que l'intégrale définie /Z soit un maximum ou 
un minimum. 
» On sait (*) qu’il faut différentier / Z en regardant comme 
variables x, y, z et leurs dérivées, puis égaler cette différen- 
tielle à O0. 
» Si nous désignons par Ô cette différentielle, la relation 
demandée sera 
Sf2—0, 
ou, ce qui est équivalent, 
JIz=0. 
» 0Z sera un polynôme en dx, ddx, dd?x, ..., dy, dy, 0d?y, 
.…. Oz, 0dz, 0d?z, ...; remplaçons ddx, ... par dûx, ...,*et 
intégrons par parties ; nous obtiendrons pour /0Z une expres- 
sion composée de deux parties : l’une renfermant les quantités 
sous le signe " et que nous désignerons par B, l'autre indé- 
pendante du signe / que nous désignerons par C. La relation 
demandée nous donnera alors deux égalités : l'une indéfinie, 
B— 0; l’autre déterminée, C — 0. 
» Les conditions auxquelles doivent satisfaire les variables, 
nous seront données par la première égalité de la manière 
suivante : 
» On examine d’abord si, par la nature du problème, il n'y a 
pas de relations entre les variations dx, dy, 0z; puis, les ayant 
réduites au plus petit nombre possible, on égalera à 0 leurs 
coefficients : ce sont ces équations qui seront les relations 
demandées. 
(*) Nous ne donnons ici qu’une analyse très abrégée du mémoire de 
Lagrange. 
