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donc encore, pour avoir un minimum, que le coefficient de 2? fût 
positif. Mais il est évident que £’ n’a pas de maximum; il suffit 
done de satisfaire à (a) dans le problème de la brachistochrone. 
La quantité du n’est autre chose que la différentielle de w 
prise par rapport à y et z et dans laquelle les accroissements de 
y et z sont représentés par 40y et 10. En supprimant le facteur à 
commun à du et à sa valeur, on aura done 
__— — 
1 dy dôy 1 dz dôz 
du = - = — + 
u dx dx u dx dx 
en sorte que l'équation (a) deviendra 
8 do BX dz do 
vi ds + f° ne 0 le (b) 
u dx dx u dx dx 
Mais en intégrant par parties et observant que dy et 9z sont 
nulles, par hypothèse, aux deux limites x —a,x—f,ona 
8 X dy dy “\u dx 
tn RAR 
14 RTE GR dx Dh 
8 = = 
Eu de, ua, 
PE RE AR dx da 
(2 
ce qui change l'équation (b) en celle-ci : 
: ë à a dz 
u dx 5 u dx a Le 0 
dx Aer de 
Or dy et dz étant des fonctions arbitraires de x, cette intégrale 
