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d'où 
dx A(y — b) 
p RTE TS , 
YO Vy—b— Ay —b} 
ou, en posant À — — 
(y — b) dy 
OR = LE, 
V/C(y — D) — (y —b 
Cette équation appartient à une cycloïde dont la base est une 
horizontale menée par le point de départ A du mobile, le cercle 
générateur ayant pour diamètre C. 
Intégrant cette équation et représentant (y — b) par w, on 
trouve 
L = [= udu Tu AG (C — 2u) du 
TR — = = 2 —— 
V/Cu — u° V/Cu — w° V/Cu — u° 
posant encore v — = ; 
w — Cu — u?, on obtient 
div 
DE RS he AE 
Wine 2v — Z Va 
De là, on conclut : 
a VCD) (EE 
1 
x — k = — C arc cos 
2 
La constante C se détermine en exprimant que la courbe 
passe par les points À et B, ce qui donne k— «a et 
1 C—2(6 — b) 
CD = CHNGUNE Ace Me 
a eee 
d’où l’on peut tirer la valeur de C. 
Laurenr, dans son Cours de mécanique, suit à peu près la 
même méthode ; mais il suppose la brachistochrone située dans 
le plan vertical des deux points donnés. Il choisit d’abord pour 
axes de coordonnées une horizontale et une verticale passant par 
le point d'arrivée; pour intégrer l'équation, il transporte les 
axes au point de départ. 
