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CHAPITRE PREMIER. 
a) BRACHISTOCHRONE DANS UN MILIEU RÉSISTANT. 
Il nous semble utile, au point de vue historique, de rapporter 
la méthode d'Euler, qui est indépendante du calcul des varia- 
tions. Lagrange (*) et Collignon (**) ont traité le problème par 
ce calcul. 
1. Euler est le seul qui, avant l'invention du caleul des 
variations. ail traité ce cas d’une façon exacte. Dans sa Mécanique, 
il considère différentes hypothèses sur le mouvement du mobile. 
Nous ne donnerons ici que le eas le plus général, qu'il énonce 
ainsi (Mécanique, 1. I, prop. 78) : 
Dans un milieu résistant quelconque, trouver, quelles que 
soient les forces sollicitantes, la courbe AMB suivant laquelle 
le mobile partant du point A parviendra le plus tôt possible au 
point B. 
Prenons pour origine des coordonnées le point A (fig. 18), 
A pour axe des x une droite quel- 
conque AP menée par A, et soient 
AP = x, PM — y les coordon- 
nées d’un point quelconque M de 
la courbe, s l'arc AM. Appelons 
V'% la vitesse du mobile en M, 
R la résistance dépendant de 
cette vitesse d’après une loi quel- 
conque. 
Quelles que soient les forces 
agissant sur le mobile, nous pou- 
vons leur substituer deux autres forces, l’une dirigée suivant ML 
parallèle à Ax, l'autre suivant MN perpendiculaire à Ax; dési- 
gnons par P, Q ces dernières forces. 
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Fig. 18. 
(*) Calcul des fonctions, Leçon XXII. 
(**) Traité de Mécanique, 5° partie, p. 209. 
