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Sr. Ci d? 
Dans l'équation (3), remplaçons — par la valeur (4) ct du 
par la valeur (1) de dv; nous aurons 
= ;. . . . … à: + (5) 
ou, en remplaçant r par la valeur (a), 
(Pdy — Qux) ds° 
PER AE tn is SERRE RERO TS 
2dx dy 
Il reste à éliminer v entre les équations (1) et (6). On obtient 
ainsi pour la brachistochrone une équation différentielle du 
troisième ordre. L'équation en termes finis de la courbe renfer- 
mera trois constantes, qu’on peut déterminer par les conditions 
que les quantités x, y, s, © s'annulent simultanément et que Îa 
courbe passe par un second point donné B. 
2. Voici la solution de Collignon. 
Soit O (fig. 19) le point de départ d’un mobile M, assujetti 
à suivre une courbe OB tracée dans le 
0 X plan vertical, sous l'action de son poids 
P et de la résistance F d’un milieu, 
ù qui agit en sens contraire du mouve- 
ne ment, proportionnellement à une fonc- 
PSC tion donnée © de la vitesse. On demande 
comment il faut tracer la courbe OB 
7 \s pour que le mobile partant de O arrive 
Fig. 19. en B dans le temps le plus court. 
Rapportons la courbe à deux axes 
passant par le point O, l’un OX horizontal, l’autre OZ vertical 
et descendant. L'équation des forces vives appliquées au mobile, 
différentiée et divisée par la masse », nous donnera 
vdv = gdz — p(v)ds . . . . . . (1) 
: TRE EE re 
Faisons ds — dz V1 + p? en désignant par p le quotient _L 
