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Posons aussi v? — « et remplaçons vdv par 5 du, etq(v) par Ÿ(u). 
L'équation du mouvement devient 
du — 9gdz + 2u(u)V/4 +pdz—0. . . . (2) 
Imaginons qu'on altère infiniment peu le tracé de l’arc OB 
entre ses deux extrémités, et soit OM'B la nouvelle courbe que 
l'on obtient par cette altération. Le mouvement du mobile le 
long de cette courbe satisferait aussi à l'équation (2), dans 
laquelle on aurait remplacé u, p et z par leurs valeurs relatives 
à la courbe OM'B. Nous pouvons admettre qu'on passe de la 
première courbe à la se-onde en conservant la même valeur 
de z et en donnant à w et à p des variations infiniment petites 
du et dp. L'équation (2) s'appliquant au mouvement suivant la 
courbe altérée sera satisfaite quand on y remplacera w par 
u + du et p par p + dp; en retranchant, on aura 
d 
POP me 
du + 2'(u) V1 + pdzdu + 2 (u) ——— 
VA +p 
— 10,746) 
équation vraie pour tous les éléments correspondants des 
courbes OMB, OM'B. 
La durée { du trajet de O en M est donnée par 
+B d *B 
nee N MRRAENRERNT 
0 Vu 
et puisque 4 doit être minimum, on aura dt = 0, c'est-à-dire 
1 (= RÉ p — RER, LITE du) = 0 (3) 
ù Vu V1 + p° Qu Vu 
Cette équation est une équation unique, qui s'applique au 
parcours entier OB. L'équation (5) tient lieu, au contraire, d’une 
infinité d'équations particulières qui établissent une relation 
entre les éléments correspondants des deux courbes que l'on 
compare. 
