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Pour résoudre cette question d'une manière générale, on 
devra tirer de l'équation (18) la valeur de p en fonction de w et 
de la fonction Ÿ; exprimer, au moyen de (19), dz en fonction 
des mêmes variables; puis substituer dans (2) les valeurs de p 
et de dz, exprimées en fonction de u, du, d, db. L'équation 
résultante sera une équation différentielle du premier ordre, 
entre les variables w et à, et l'intégration de cette équation fera 
connaître Ÿ en fonction de u, avec une constante que l’on déter- 
minera par la condition d (u) = 0 pour u = 0. 
8. Haton de la Gonpillière a traité cette question d’une façon 
détaillée et très rigoureuse. Il considère principalement le cas où 
la fonction v (v) a la forme Kv”. Il indique la marche à suivre 
pour la résolution des équations, quel que soit m, et effectue les 
calculs pour m — 2. | 
L'équation de la brachistochrone est alors la suivante : 
B 5 
[- — 5k% sin w (A sin © — B cos «) 
P B° 
ee ee 
— — 2k sin « (A sin & — B cos &) 
P 
Les quantités A, B, 9, K, ©, p sont définies dans l’article 
suivant, qui concerne la brachistochrone dans le cas où il existe 
un frottement de glissement. 
b) TROUVER LA BRACHISTOCHRONE LORSQUE LE MOBILE ÉPROUVE 
UNE RÉSISTANCE PROVENANT D UN FROTTEMENT DE GLISSEMENT. 
Haton de la Goupillière seul a traité ce cas. On pourrait 
peut-être résumer son étude, mais nous avons craint de lui faire 
perdre, par ce fait, beaucoup de sa clarté. C'est pourquoi, malgré 
sa longueur, nous la donnons ici dans tous ses détails. 
1. Nous prendrons comme variable indépendante l’are s de 
la courbe; soient v la vitesse, { le temps; on a v— = et l’in- 
