( 80 ) 
: 7e “ 
tégrale qu'il faut rendre minimum est 1=f$. Nous supposons 
l'axe des x vertical et dirigé vers le bas, l’axe des y horizontal; 
dési . ! ! It [l dé sa dx dy dx! A 
nous désignerons par 2’, y’, x’, ..… les dérivées +, 7,2, ….; 
x et y seront des fonctions inconnues de s, entre lesquelles on 
a identiquement 
me Q'É iQ}: ND. OMS 
L 
En attribuant au mobile l'unité de masse et au frottement le 
coeflicient f, on aura pour équations du mouvement 
2 
s fN N i 
— — € = ; =:—= = : 
me g Sin « 
d'où, en éliminant la réaction N, 
: r{ | 2 
—_ — S © — — 2 NE NE 
D g cos w : + g Sin © (2) 
On à d’ailleurs 
dv  dvds h ; 3 : J 3 
PT à a coSœ—x, Sinw—y" . . (3) 
1 
— = V/x"" RE y fe (4) 
P 
ce qui permet d'écrire, au lieu de (2), 
vo + fo Va + y + g(fy —x)=0 . . . (5) 
2. Nous aurons, d'après cela, à traiter par la méthode des 
variations l'expression { = / Uds, où 
U—- + (x + y —1)+u[uv +g(/y—x)+ fi V/x" + y*] (6) 
À et étant des fonctions inconnues de s: 
Nous devons donc déterminer cinq fonctions de s, savoir : 
x, Y, 0, À, pb, et pour cela obtenir entre elles cinq relations. 
Si ensuite on conçoit l'élimination de s, v, À, u, il restera entre 
x et y l'équation de la brachistochrone. 
