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Cette équation, dans laquelle L ne figure qu’au premier 
degré, va nous fournir l'expression de la vitesse. Elle donne 
pour cela successivement : 
(Ay'— Ba’) (2° — fy') — (Ax' + By + C)[(2/* + 1) y'— fx] 
+ LRO + D — fe + fe — = 0: 
puis 
UP OU RM RL EN Lo e 
[Af+B(2f°+1)]y""+(B—Af)2"—2/(B—A fa y +C[(2f+1)y — fx] 
ou, d'après (5), 
(F2 +1) sin w 
Lu [Af+B (2f2+-1)] sin? © + (B— Af) cos? © — 2f(B — Af) sino cosw+C [(2f? + 1) sin w —f cosw] (21) 
6. Remarquons maintenant que l'équation du mouvement (2) 
ne renferme, en dehors de v et de sa dérivée, que p et ©. Or v 
. vient d’être exprimé en fonction de w. Il suffit done de substi- 
tuer son expression pour obtenir l’equation de la brachistochrone 
sous la forme d’une relation entre son angle de contingence et 
son rayon de courbure. Pour effectuer cette substitution, nous 
représentons pour un instant par Q le dénominateur de v dans 
la formule (21) et par Q' sa dérivée par rapport à w (et non às, 
comme l’indiquent jusqu'à présent les accents); il vient alors 
__(f+ 1) sin © 
a 
Q cos © — Q’ sin w 
dv 
1 —_ — 2 1 
pv D (f°+ 1) = 
Or l'équation (2) peut s'écrire 
puv' + fo + gp(f sin © — cos w) — 0, 
