(FH1Ÿ 
p=Sin& 
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tochrone. Il reste done, en rendant dans le premier membre 
à Q sa valeur, 
Telle est l'équation de la brachistochrone. 
Comme vérification, nous pouvons supprimer le frottement f, 
Mens . NT __sno , . g 
ct il vient par là P= GG? équation connue de la cycloïde. 
Passons à la discussion de l'équation (22). 
7. Si l'on fait, dans l'équation générale (22) de la brachis- 
tochrone, w = 0, il vient p — 0. Cette courbe présente donc 
toujours un rebroussement dont la tangente est verticale. Ce 
point Jouit, en outre, de cette propriété importante, qu'il doit 
former l'origine du mouvement toutes les fois que celui-ci doit 
avoir lieu sans vitesse initiale. En effet, la valeur (21) montre 
que v ne peut s’annuler qu'avec sin w el, par suite, en même 
temps que p (22). 
8. On peut revenir aux coordonnées cartésiennes à l’aide des 
formules 
2 = To + /p cos odu, y = Yo + /p sin ode 1. 1(25) 
Les signes d'intégration portent, après la substitution de 
p (22), sur des fonctions rationnelles de sin o et cos w; celles-ci 
peuvent être ramenées, comme on le sait, à des expressions 
algébriques rationnelles, si l’on prend pour variable auxiliaire 
tg _ La représentation des deux coordonnées x et y peut donc 
être considérée comme obtenue en fonction d'un seul para- 
mètre w, au prix de semblables intégrations. Mais il reste à en 
déterminer les constantes arbitraires. 
Nous supposerons, pour cela, que le mobile doit partir d’un 
point donné (x, y,) avec une vitesse connue v, et aboutir dans 
le temps le plus court à un autre point également désigné (xs, ya). 
On écrira pour ces deux points les équations (23), ce qui four- 
nira quatre conditions entre les données x4, y4, Ze, Ya V, et les 
(B—Af)(1+92fsin © cosw) — 2f(A+Bf) sin*o + fC(coso+2fsino) 
{(B—Af)(1—2/fsinv cos o)+2/(A+B/)sin*o+/fC[(2f °+1)sin2—fcose](* 
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2) 
