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11. Ceci posé, et en raisonnant dans l'hypothèse de la réalité 
de B et y, on voit que le rayon de courbure commencera par 
s’annuler lorsque 6, en croissant en valeur absolue, atteindra les 
deux valeurs 8— 6, 0 — — f, ce qui indique l'existence de 
deux rebroussements, indépendamment du rebroussement ver- 
tical 0— «. Ces derniers ont leurs tangentes symétriquement 
inclinées sur l'axe de comparaison des angles 0. 
La variable continuant à croitre, p devient infini pour 8 = ; et 
8— — y, ce qui indique des points d'inflexion dont les tangentes 
sont elles-mêmes symétriquement inelinées; mais ces points sont 
à l'infini, car x et y deviennent alors à la fois infinis. En effet, 
quand on remet dans leurs expressions (23) la valeur (54) de p, 
le dénominateur devient du troisième ordre infinitésimal, lorsque 
8 s'approche de y par des aceroissements dû du premier ordre. 
Lors même que tous ces points singuliers auraient une exis- 
tence réelle, il n'en résulterait aucun obstacle pour la question 
qui nous occupe, la courbe pouvant fonctionner comme bra- 
chistochrone par un are fini et sans accidents de forme compris 
entre 0— «et 0 — f. Du reste, nous avons reconnu que toutes 
ces formes singulières disparaissent, quand le frottement s'atté- 
nue suffisamment, sans pour cela que l'équation présente la 
moindre difficulté en la laissant sous la forme (35), puisque 
sin? $ et sin? y réprésentent toujours des valeurs réelles. 
c) TROUVER LA BRACHISTOCHRONE EN TENANT COMPTE DE LA RÉSIS- 
TANCE QU'ÉPROUVE LE MOUVEMENT PAR LE FROTTEMENT DE GLISSE- 
MENT ET PAR LA DENSITÉ DU MILIEU, 
Ce cas a encore été considéré par M. Haton de la Goupillière. 
Si l'on suppose réunies les deux résistances passives, à savoir : 
le frottement de glissement et la résistance du milieu ayant pour 
expression @(v), l'équation du mouvement prendra la forme 
2 
2 
nv 
vv’ + hcos © + ksino + — + (v)—0. . . (1) 
p 
Les constantes h, k, n auront pour valeurs = — 9, k = f9, 
