(97) 
Donc, en appelant MT la tangente en M et remplaçant r' par r, 
sin CMM' par sin CMT, qui est égal à r ©, il vient 
Telle est l'équation différentielle de la courbe. 
De ces équations on déduit : 
1° Que la courbe est tangente au rayon passant par le point 
de départ, et normale au rayon auquel elle se termine ; 
2 En écrivant (1) sous la forme r sin CMT — m0 on à ce 
théorème, dù à Euler, que la vitesse en chaque point est pro- 
portionnelle à la distance du centre attirant à la tangente en 
ce point. 
3° Si l'attraction exercée per le centre C est proportionnelle 
à la distance, le principe des forces vives donne 
elle représente, comme on le sait, une épicyeloïde engendrée 
par un point de la circonférence de diamètre r6 —r,; — Aa, 
qui roulerait intérieurement sur la circonférence Ab. 
e) BRACHISTOCHRONE DANS UN PLAN, DANS LE CAS OÙ LE MOBILE EST 
SOUMIS A UNE FORCE QUELCONQUE ADMETTANT UNE FONCTION DES 
FORCES. 
Nous adopterons ici la méthode de Despeyrous. 
Soient v la vitesse, mX et mY les composantes de la force exté- 
1 
