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de sorte que cette équation prend la forme 
« DS er 
J TU Er 
vV/1 + y* v° 
On en conclut la condition cherchée : 
y YVA1 + y” 
A —————— À ——— 
vVA + (1e D 
En effectuant les calculs et remarquant que 
dv dv 1 dx 
lo = —d — dy = -(Xd Ydy) = — (X f 
dv Te he a 1 y x + Ydy) pa (X + Yy'), 
on obtient, toutes réductions faites, 
On peut encore écrire, en remplant v? par sa valeur, 
Mr os J Xdx + Ydy) —0 
FE. ) +: nee y* ( D' y) CG 
où l'intégrale /(Xdx + Ydx) désigne une fonction connue de x 
el y. 
Cette équation différentielle du second ordre représente la 
brachistochrone; on déterminera les deux constantes introduites 
par l'intégration en faisant passer la courbe par les points A 
et B. 
Au moyen des propriétés du rayon de courbure, on peut facile- 
ment déduire de ces équations que : Dans les brachistochrones 
planes, la composante normale de la force extérieure est égale en 
grandeur et en signe à la force centrifuge — ou bien encore : 
Dans les brachistochrones planes, la pression exercée par le 
mobile sur la courbe est le double de la composante normale de la 
force agissante. 
