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b) Brachistochrone.entre un point et une surface. 
Reportons-nous à l'analyse de la méthode de Lagrange (p. 54). 
Nous avons vu que les conditions de maximum et de minimum 
de l'expression /Z se ramènent aux deux équations B — 0 et 
C = 0, dont la dernière est relative aux limites de l'intégrale. Si 
C, et C désignent les valeurs de C au premier et au dernier 
point de l'intégrale, dans le cas considéré ici nous aurons iden- 
tiquement C,; — 0, puisque le point de départ est fixe. Le point 
d'arrivée sera donné par l'égalité C, = 0, qui, si x, y, z désignent 
les coordonnées du point d'arrivée, s'écrira : 
dx y 
dt + = dy + 02 0e Le (1) 
dsV/x dsV/x dsVx 
1° Si le point final doit se trouver sur un plan horizontal, 
æ est constant et dx — 0; l'équation (1) se décompose en 
dy dz 
== 0, 
dsV’x dsV/x 
—\i} 
c'est-à-dire que les constantes a et b que nous avons employées 
(p. 55) doivent être infinies; done la ligne cherchée est une 
droite verticale. 
2 Le plan donné est vertical et perpendiculaire à l'axe des y 
ou des z. 
S'il est perpendiculaire à l'axe des y, on a dy = 0; donc 
dx dz 
=, 0! 
dsV’x dsV’x 
S'il est perpendiculaire à l’axe des z, on a dz — 0; donc 
d d 
œ 0 y 
il); _— 0. 
dsV’x dsV/x 
