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En déterminant a et b, on verra que la courbe cherchée est 
une cycloïde coupant le plan donné à angle droit. 
5° Si la brachistochrone se termine à une surface définie par 
l'équation 
dz = Tdx + Vdy, 
on devra avoir 
dz = Tôx + Vdy; 
substituant cette valeur dans (1), nous aurons pour le point 
final 
dx dz dy dz 
—+T — | dx + + V — | dy —"0" 
dsV/x dsV”x dsV/x dsV’x 
d'où l'on tire 
dx + Tdz—0, dy + Vdz=0, 
équations qui montrent que la courbe cherchée coupe orthogo- 
nalement la surface donnée. 
Si nous supposons, avec Jordan, que la surface a pour équa- 
tion Ÿ (x, y, z) = 0, les variations relatives au point final, dxe,0y», 
022, sont liées par l'équation (*) 
+) OZ + F) OX» + X:07-) + (+) (d + Y292:) = 0 2 
JL) ï 9 9 = . 
52), 2 5 \ 2 2 à) dy), VE Ye 2) ( ) 
Toutes les fois que cette condition sera remplie, la quantité H 
(p. 65), qui se réduit à 
da + Lo(0Xe + L9022) + Ye(0Ya + Y2022) 
VA + x + y Vi — 2q(z: — 21) 
devra s’annuler; on aura done pour équation de condition : 
Free 
dz 2 OX J 2 dY/ 2 
; > * 
1 LE UP 
(*) Rappelons que Jordan prend pour variable indépendante z. 
