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qui, jointes à Ÿ — 0 et aux équations qui expriment que la courbe 
passe par les points (x, Yy, Z1) et (%a, Vas 2), détermineront les 
constantes d'intégration et les coordonnées finales x>, Y2, 22. 
Les équations (3) expriment que la tangente à la courbe cher- 
chée au point (x2, yo, z2) est normale à la surface Ÿ — 0. 
c) Brachistochrone entre un point donné el une courbe donnée. 
Le point final doit se trouver sur la courbe 
Les variations 0x, dys, 0z, seront liées par des équations 
analogues à (2), l’une relative à la fonction Ÿ, l’autre à la fonc- 
tion 4. L'équation de condition devient dans ce cas : 
MER 
ir 
d3 /» dX / » QULE 
1 T° UP 
jointe à ÿ — 0, y; — 0 et aux équations qui expriment que la 
courbe passe par les points (x, y, z1), (to, y», 22), elle déter- 
minera toutes les inconnues du problème. Cette équation 
exprime que la courbe cherchée est normale à la courbe 
donnée. 
d) Brachistochrone entre deux courbes données. 
Dans les Mémoires de Berlin (1770), Lagrange, en étudiant ce 
cas, suppose les deux courbes données dans un même plan. Ce 
travail avait été publié pour rectifier une solution précédente où 
Lagrange avait, en appliquant sa méthode à ce problème, omis de 
faire varier l’ordonnée du point de départ qui se trouve sous le 
