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d’où, en intégrant, 
ydx—xdy—=CdsVrz—2. . . . . (5) 
Si l’on substitue à x et à y les coordonnées polaires r et 8, 
liées par les relations x = 7 cos 0, y — r sin 6, il vient 
00 CURE 0 Ne PONT) 
car 
d = 
y dx — x dy = r°d8, == V2) 
L'équation (6) montre que l'aire décrite à chaque instant par 
la projection du rayon vecteur est proportionnelle au carré de la 
vilesse du mobile. 
A l'origine du mouvement, la vitesse v étant nulle, le rapport = 
est également nul; donc le mobile reste, pendant le premier 
instant, dans le plan vertical qui passe par le rayon vecteur. Il en 
résulte que la brachistochrone est tangente au méridien qui passe 
par le point de départ. 
L'équation (5) peut se mettre sous la forme 
d= = CydsVz —2 — Au 
y 
et l'on voit que le second membre a toujours le signe de C. Si 
l'on suppose que le point d'arrivée (x4, ya, 31) Soitsur le méridien 
du point de départ (xç, Yo» Zo) On aura de 7 et il faudra que 
la somme des accroissements du rapport = soit nulle, c'est-à- 
dire que 
cf ydsVz— 7 —0, 
Zo 
d'où C — 0. Par suite, 
donc la brachistochrone n'est autre chose que le méridien passant 
par le point de départ. 
