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L'intégrale de l'équation (5) peut toujours se ramener à une 
quadrature. En effet, de cette équation on tire 
res CV/2 Ed 1 ONE) 
On a d'ailleurs 
r=V%@ =), dr =f'(s)ds, 
ds = dz* + dr° + dé = d2 [1 + f*(2)] + f*(z)dé; 
l'équation (7) se ramène donc à 
Cdz [1 + f*(2)](z — 2%) 
dû = —— SDS ARE CNY PATENT Eee 
AT V FE C4) 
Lorsque la surface est un cylindre de révolution, la réaction 
qu'elle exerce sur le mobile étant horizontale, n’a aucune in- 
fluence sur la vitesse. [l en résulte que si on développe le 
cylindre sur un plan vertical, la brachistochrone sur le cylindre 
sera la brachistochrone sur le plan; ainsi done la première 
courbe se développe suivant une cycloïde. 
c) La surface donnée est un plan. 
Nous n'avons à examiner iei que le cas où le plan fait avec 
l'horizon un angle @ différent de 90°. 
Rapportons la courbe cherchée à un axe Ox, qui est une 
horizontale du plan donné, et à un axe OZ qui sera la ligne de 
plus grande pente du plan. 
L'équation F (x, y, z) = 0 devient z — y 1g 0— 0, de sorte 
que 
LE 0 : — tg 9 
ON TT Dé 
et l'équation (2) se réduit à 
dx , dx 
d——=0, d'où ————c 
ds 7 rer 
