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CHAPITRE IV. 
a) RÉDUCTION DU PROBLÈME DES BRACHISTOCHRONES 
AUX ÉQUATIONS CANONIQUES (*). 
Soit M un point sollicité par un système de forces données, et 
l’on cherche une courbe passant par deux points A et B donnés, 
telle que le temps employé par le mobile pour aller de A en B 
soit minimum le long de cette courbe. La courbe peut d’ailleurs 
être assujettie à se trouver sur une surface donnée. 
Nous supposerons l'existence d'une fonetion des forces ; alors la 
vitesse v du mobile est une fonction connue des coordonnées x, 
y, z. Il faut rendre minimum 
s désignant l'arc de la courbe. 
La réduction de ee problème aux équations canoniques peut 
se faire de deux façons en réduisant le problème à la recherche 
soit d'un fil flexible et inextensible, soit de la trajectoire d'un 
point matériel. Ces deux méthodes ne sont pas essentiellement 
distinctes, car l'identité de ces deux derniers problèmes a été 
reconnue depuis longtemps. 
1. Le calcul des variations conduit aux équations : 
ds\v ds >z 
) () F) 
2e so _'1 dé d) no di é ar 
ds\v ds) ox  ds\v ds) dy 2 : 
(*) Cette réduction a été faite par Andoyer dans une note présentée par 
M. Darboux à l'Académie des scicnces de Paris (Mémoires, t. C, p. 1577). 
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